Nash-Gleichgewicht

Das Nash-Gleichgewicht, oder im Englischen Nash-Equilibrium, steht für eine Spielsituation, in der keiner der Spieler sich durch eine Änderung seiner Wahl verbessern kann. Man sagt deshalb auch, dass diese Situation zu einem gewissen Grad "stabil" ist. Zu einem Nash-Gleichgewicht kommt es, in dem alle e Spieler eine beste Antwort auf das Verhalten der Gegenspieler spielen. Deshalb nennt man das Nash-Gleichgewicht auch oft strategisches Gleichgewicht.

Wie man sich schon denken kann, stammt der Name des Nash-Gleichgewichts von einem berühmten Mathematiker ab: John Forbes Nash Jr.. Jenem John Nash, dessen Leben im preisgekrönten Spielfilm A Beautiful Mind verfilmt wurde. In diesem wird das Nash-Gleichgewicht übrigens sehr schön simpel mit einer Blondine erklärt ;-)

Grundsätzlich unterscheidet man Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien und in gemischten Strategien. Was man sich darunter vorstellt, erfährt man nachfolgend.

Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien

Bei Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien antwortet der Gegenspieler immer mit der besten Antwort auf die gewählten Strategien der anderen Spieler. Der Spieler kennt also die Wahl seines Gegenspielers und kann entsprechend reagieren. Damit kann es bei reinen Strategien aber auch zu keinem Gleichgewicht kommen. Nehmen wir das bekannte Spiel: "Schere, Stein, Papier". Bei reinen Strategien würde beispielsweise sich Spieler A für "Papier" festlegen. Nun könnte Spieler B mit diesem Wissen reagieren und die für ihn beste Antwort, nämlich die Schere, wählen. Das antizipiert aber natürlich A, deswegen würde sich A gar nicht auf "Papier" festlegen, da er egal was er wählt, nur verlieren kann. Gleiches gilt natürlich, wenn Spieler B erst wählen würde und A darauf reagieren könnte.

Das es aber auch in reinen Strategien durchaus zu Nash-Gleichgewichte kommen kann, dass zeigt nachfolgendes Beispiel auf.

Im nachfolgen Beispiel zum Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien ist die erste Angabe die Auszahlung von Spieler 1 und die zweite Angabe die Auszahlung von Spieler 2.

Um das (oder mehrere Nashgleichgewichte) bei reinen Strategien zu finden, geht man so vor, dass man mit einem Spieler einen Zug macht, den Gegenzug des anderen Spieler konstruiert und dann schaut, ob der Spieler mit dem Anfangszug von seiner ersten Entscheidung abweicht oder nicht. Weicht er nicht ab, hat man auch schon das Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien gefunden.

Lange Rede, kurzer Sinn: Wählt Spieler A beispielsweise "Oben", dann kann Spieler B nun sich für "Links" oder "Rechts" entscheiden. "Links" würde Spieler B eine Auszahlung von 2 bekommen, "Rechts" eine Auszahlung von lediglich 1. Als rationaler Spieler würde sich Spieler B also für "Links" entscheiden, da er hier die höchste Auszahlung bekommt. Nun könnte Spieler A sich aber, nachdem sich Spieler B für "Links" entschieden hat, für "Unten" entscheiden. Da er "Unten" aber nur eine Auszahlung von 1 bekommt und "Oben" eine Auszahlung von "3", entscheidet sich Spieler A für Oben. Da nun kein Spieler mehr von seiner Wahl abweicht, hat man mit "Oben", "Links" ein Nash-Gleichgewicht gefunden.

Würde Spieler A aber erst "Unten" wählen, würde sich Spieler B für "Rechts" entscheiden, da er hier mit 3 eine höhere Auszahlung erhält. Da Spieler A aber "Oben" auch lediglich 1 als Auszahlung erhält, bleibt er bei seiner Entscheidung, damit wäre auch "Unten", "Rechts" ein Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien.

Das "Unten", "Links" und "Oben", "Rechts" keine Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien sein können, sollte klar sein, da sogar beide Spieler mit der Wahl der anderen Strategie eine höhere Auszahlung bekommen würde. Reichen würde aber schon, wenn nur ein Spieler abweichen würde, damit es zu keinem Nash-Gleichgewicht kommt, das ist aber in diesem Beispiel nicht der Fall.

Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien

Beim Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien schlägt nun Herr Zufall zu. Im Gegensatz zu den reinen Strategien trifft der Spieler keine direkte Entscheidung, sondern überlässt seine Wahl einen Zufallsmechanismus, der eine reine Strategie bestimmt. Damit besitzt jedes endliche Spiel ein Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien, während es bei reinen Strategien, wie schon oben beschrieben, es eben auch kein Gleichgewicht geben kann. Deshalb funktioniert auch das "Schere, Stein, Papier"-Spiel, das mit reinen Strategien nicht möglich wäre.

Nachfolgend wieder oberes Beispiel aus den reinen Strategien, diesmal sollen das Nash-Gleichgewicht/die Nash-Gleichgewichte unter Berücksichtigung von gemischten Strategien herausgefunden werden.

Als erstes legt man allgemeine Wahrscheinlichkeiten für Spieler A und Spieler B fest. Spieler A hat beispielsweise für seine Wahl die Strategie "Oben" zu wählen die Wahrscheinlichkeit p_oben, sodass "Unten" die Gegenwahrscheinlichkeit 1-p_oben hat. Gleiches legt man nun für Spieler B fest, nämliche die Wahrscheinlichkeit für Links p_links und damit die Gegenwahrscheinlichkeit für "Rechts" mit 1-p_links.

Nun berechnet man den Erwartungsnutzen, also der mit der Wahrscheinlichkeit gewichtete Nutzen für die Spieler A und B.

Damit ergibt sich:

• .. für Spieler A:
  "Spieler spielt "Oben": Nutzen = 3*p_links + 1*(1-p_links)
  "Spieler spielt "Unten": Nutzen = 1*p_links + 2*(1-p_links)
  
• .. für Spieler B:
  "Spieler spielt "Links": Nutzen = 2*p_oben + 1*(1-p_oben)
  "Spieler spielt "Rechts": Nutzen = 1*p_oben + 3*(1-p_oben)
  

Damit es jetzt zu einem Nash-Gleichgewicht kommen kann, muss der Erwartungsnutzen für beide Strategien des Spielers gleich sein. Man setzt die beiden Nutzen je Spieler also gleich.

Für Spieler A muss also gelten:
3*p_links + 1*(1-p_links) = 1*p_links + 2*(1-p_links)
Das gibt aufgelöst: p_links =1/3 und da p_rechts = 1- p_links ist, ist p_rechts=2/3

Selbiges Vorgehen für Spieler B:
2*p_oben + 1*(1-p_oben) = 1*p_oben + 3*(1-p_oben)
Das gibt aufgelöst: p_oben =2/3 und entsprechend p_unten=1/3